Question

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).當(dāng)的面積取得最小值時(shí)，點(diǎn)的位置是（ ）

A.線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B.線(xiàn)段的中點(diǎn)

C.線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)D.線(xiàn)段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)

Answer 1

【答案】B

【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小時(shí)，確定點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可知，即是動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再由空間兩點(diǎn)間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問(wèn)題.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則，，的中點(diǎn)，

，，則，

設(shè)，，

由與共線(xiàn)，可得，所以，所以，其中，

因?yàn)?/span>，

，

所以，所以，即是動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，

由于為定值，所以當(dāng)的面積取得最小值時(shí)，為線(xiàn)段的中點(diǎn).

故選：B