【題目】曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0)的距離之積等于9的點(diǎn)的軌跡.給出下列命題: ①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn);
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱;
③若點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2的周長有最小值10;
④若點(diǎn)P在曲線C上,則△F1PF2面積有最大值 .
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】C
【解析】解:設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),則[(x+2)2+y2][(x﹣2)2+y2]=81,
①把x=0,y=0代入上式得1=81,故曲線C不經(jīng)過原點(diǎn),故①錯(cuò)誤;
②把(﹣x,y)代入上式得[(﹣x+2)2+y2][(﹣x﹣2)2+y2]=[(x﹣2)2+y2][(x+2)2+y2]=81,
∴曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱,
把(x,﹣y)代入上式顯然也成立,故曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱,故②正確;
③∵|PF1|+|PF2|≥2 =2 =6,
∴△F1PF2的周長為|PF1|+|PF2|+|F1F2|≥6+4=10,故③正確;
④△F1PF2面積S= =2y,∴S2=4y2,
∵[(x+2)2+y2][(x﹣2)2+y2]=81,∴y4+(2x2+8)y2+(x2﹣4)2﹣81=0,
∴y2= ﹣x2﹣4或y2=﹣ ﹣x2﹣4(舍).
設(shè) =t,則x2= ,
∴y2=t﹣ ﹣4=﹣ t2+t﹣ =﹣ (t﹣12)2+ ,
∴當(dāng)t=12時(shí),y2取得最大值 ,即S的最大值為2 ,故④錯(cuò)誤.
故選C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|< )的圖象如圖所示,為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象,只需把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位長度
B.向右平移 個(gè)單位長度
C.向左平移 個(gè)單位長度
D.向右平移 個(gè)單位長度
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【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為菱形,底面△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A1B⊥B1C.
(1)求證:直線AC⊥直線BB1;
(2)若直線BB1與底面ABC成的角為60°,求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程是y=8,圓C的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù)).以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (Ⅰ)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)射線OM:θ=α(其中 )與圓C交于O、P兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)M,射線ON: 與圓C交于O、Q兩點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)N,求 的最大值.
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【題目】設(shè)P是橢圓上一點(diǎn),M,N分別是兩圓(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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【題目】已知橢圓 的離心率為 ,短軸長為2. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若圓O:x2+y2=1的切線l與曲線E相交于A、B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,求|OM|的最大值.
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【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足(2a﹣c)cosB=bcosC.
(1)求B的大。
(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點(diǎn)D,使得AD=2CD=4.當(dāng)角D為何值時(shí),四邊形ABCD面積最大.
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【題目】已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于( )
A.
B.1
C.2
D.4
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ (a∈R).
(1)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的值;
(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.
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