【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ (a∈R).
(1)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的值;
(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=alnx+ +2,定義域是(0,+∞),
∵f′(x)= ,
∵f(x)在x=2處取得極小值,故f′(2)=0,
即4a+4a﹣2+a=0,解得:a= ,
經(jīng)檢驗a= 時,f(x)在x=2處取得極小值
(2)解:∵f′(x)= ,
若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則f′(x)<0有正數(shù)解,
即a(x2+2x+1)<x有x>0的解,
即a< 有x>0的解,
問題等價于a< ,x>0,
∵ = ≤ 當且僅當x=1時取“=“,
∴ = ,
∴a<
【解析】(1)首先求導由已知可得f′(2)=0即可得出a的值。(2)根據(jù)導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得f′(x)<0有正數(shù)解,由式子的幾何意義可得a(x2+2x+1)<x有x>0的解的情況即a< 有x>0的解,等價于a小于該分式的最大值再利用基本不等式求出這個值即可。
【考點精析】認真審題,首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減),還要掌握函數(shù)的極值與導數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0)的距離之積等于9的點的軌跡.給出下列命題: ①曲線C過坐標原點;
②曲線C關(guān)于坐標軸對稱;
③若點P在曲線C上,則△F1PF2的周長有最小值10;
④若點P在曲線C上,則△F1PF2面積有最大值 .
其中正確命題的個數(shù)為( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED= .M為棱FC上一點,平面ADM與棱FB交于點N.
(Ⅰ)求證:ED⊥CD;
(Ⅱ)求證:AD∥MN;
(Ⅲ)若AD⊥ED,試問平面BCF是否可能與平面ADMN垂直?若能,求出 的值;若不能,說明理由.
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【題目】已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別是a、b、c,且 ,若將函數(shù)f(x)=2sin(2x+B)的圖象向右平移 個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)的解析式為( )
A.
B.
C.2sin2x
D.2cos2x
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向左平移 個單位后,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,下列關(guān)于y=g(x)的說法正確的是( )
A.圖象關(guān)于點(﹣ ,0)中心對稱
B.圖象關(guān)于x=﹣ 軸對稱
C.圖象關(guān)于點(﹣ ,0)中心對稱
D.圖象關(guān)于x=﹣ 軸對稱
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【題目】在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD相交于點F.若AB=2, ,∠BAD=45°,則 =( )
A.
B.1
C.﹣
D.1
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【題目】已知數(shù)列{an}的首項為a1=2,且滿足a1+a2+…+an﹣an+1=﹣2.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}滿足 ,求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn .
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【題目】將集合M={1,2,3,…15}表示為它的5個三元子集(三元集:含三個元素的集合)的并集,并且這些三元子集的元素之和都相等,則每個三元集的元素之和為;請寫出滿足上述條件的集合M的5個三元子集 . (只寫出一組)
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【題目】定義一個集合A的所有子集組成的集合叫做集合A的冪集,記為P(A),用n(A)表示有限集A的元素個數(shù),給出下列命題:①對于任意集合A,都有AP(A);②存在集合A,使得n[P(A)]=3;③用表示空集,若A∩B=,則P(A)∩P(B)=;④若A B,,則P(A) P(B);⑤若n(A)-n(B)=1,則n[P(A)]=2×n[P(B)]其中正確的命題個數(shù)為( )。
A.4
B.3
C.2
D.1
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