Question

【題目】在三棱錐各棱所在的6條直線上，互相垂直的最多有兒對(duì)？（每?jī)蓷l組成一對(duì)）

Answer 1

【答案】6

【解析】

分三步證明最多有6對(duì)互相垂直的直線.

（1）6對(duì)是可以達(dá)到的.

當(dāng)且時(shí)，由線面垂直的性質(zhì)有，，.

又由三垂線定理，有，.這就得出6對(duì)互相垂直的直線(如圖所示).

(2)8對(duì)是不可能的.

由于一個(gè)三角形的內(nèi)角中最多有一個(gè)直角，最少有兩個(gè)銳角，所以4個(gè)面三角形至少有8個(gè)銳角，又由6條直線可以組成對(duì)直線，知，互相垂直的直線不超過(guò)7對(duì).

(3)7對(duì)是不可能的.

若不然，有7對(duì)垂直直線，因異面直線只有3對(duì)，故至少有4對(duì)垂直直線是共面的，

得三棱錐的4個(gè)表面都必須是直角三角形（得4對(duì)）.

進(jìn)而3對(duì)成異面直線的棱也互相垂直.

此時(shí)，三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)在所對(duì)面上的射影必是該三角形的垂心，

而直角三角形的垂心就是直角頂點(diǎn)，所以這個(gè)三棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且垂足就是垂面三角形的頂點(diǎn)(圖中，).

這時(shí)底面三角形直角頂點(diǎn)的對(duì)面為銳角三角形（為銳角三角形），與4個(gè)面均為直角三角形矛盾.

綜上得，互相垂直的直線最多有6對(duì).