Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數(shù)、，若存在實(shí)數(shù)，，使則稱函數(shù)是由“基函數(shù)”生成的.

（1）若和生成一個偶函數(shù)，求的值；

（2）若是由和生成，其中，.且求的取值范圍；

（3）利用“基函數(shù)，”生成一個函數(shù)，使得滿足：

①是偶函數(shù)，②有最小值，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范圍為；

（3）

【解析】

（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)，再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)��?shù)方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可.

（2）設(shè)，展開后整理，利用待定系數(shù)法找到的關(guān)系，由系數(shù)相等把用表示，然后結(jié)合的范圍求解的取值范圍.

（3）設(shè)，是偶函數(shù)，則，可得與的關(guān)系，有最小值則必有，且有，求出和的值，可得解析式.

（1）和生成一個偶函數(shù)，

則，

，

，

故得，.

（2）設(shè)，

，，

則，

所以，

，.且，

的取值范圍為.

（3）設(shè)，

是偶函數(shù)，

，

即，

，可得：，

則

，

有最小值，則必有，且有，

，

故得.