Question

【題目】為了調查學生數學學習的質量情況，某校從高二年級學生（其中男生與女生的人數之比為）中，采用分層抽樣的方法抽取名學生依期中考試的數學成績進行統計.根據數學的分數取得了這名同學的數據，按照以下區(qū)間分為八組：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧

得到頻率分布直方圖如圖所示.已知抽取的學生中數學成績少于分的人數為人.

（1）求的值及頻率分布直方圖中第④組矩形條的高度；

（2）如果把“學生數學成績不低于分”作為是否達標的標準，對抽取的名學生，完成下列列聯表：

據此資料，你是否認為“學生性別”與“數學成績達標與否”有關？

（3）若從該校的高二年級學生中隨機抽取人，記這人中成績不低于分的學生人數為，求的分布列、數學期望和方差

附1：“列聯表”的卡方統計量公式：

附2：卡方（）統計量的概率分布表：

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據小長方形面積等于對應區(qū)間概率以及頻率等于頻數除以總數列等式解得，根據高度等于頻率除以組距計算.（2）根據分層抽樣確定男女生人數，列列聯表，根據卡方公式計算，再對照參考數據確定把握性，（3）可視為獨立重復試驗，先計算頻率代替概率，再利用二項分布求分布列及數學期望、方差.

試題解析：（1）“成績少于分”的頻率

④的高度

（2）按照“男生”和“女生”分層抽樣

在容量為的樣本中，“男生”人數，“女生”人數

“達標”即“成績不低于分”的頻數

據此可填表如下：

據表可得卡方統計量

故有不足的把握認為“學生性別”與“數學成績達標與否”有關

可以認為它們之間沒有關聯

（3）“成績不低于分”的頻率

因高二年級的學生數遠超過樣本容量,故從該年級抽取任意人的概率都可認為是

從而

則，

，

故的分布列為：

數學期望

方差