Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)，求的取值范圍；

(2)設(shè)，若存在,使得當(dāng)時(shí)， 的值域是,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，得到關(guān)于的不等式組，求得實(shí)數(shù)，再作出驗(yàn)算即可．

（2）求出的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于的不等式，解出即可．

試題解析：

(1) ,則

令,若函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程必有兩個(gè)不等的正根，于是 解得

當(dāng)時(shí)， 有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，設(shè)為,不妨設(shè),

則.

當(dāng)時(shí)， 在 上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí), 在上為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上為減函數(shù).

由此， 是函數(shù)的極小值點(diǎn)， 是函數(shù)的極大值點(diǎn).符合題意.

綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）

①當(dāng)時(shí)， .當(dāng)時(shí)， 在上為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù).

所以，當(dāng)時(shí)， 的值域是.

不符合題意.

當(dāng)時(shí)， .

(i)當(dāng),即時(shí)， , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以在上為減函數(shù)．從而在 上為減函數(shù)．符合題意

(ii)當(dāng),即時(shí)，當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	減函數(shù)	極小值0	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

若滿足題意，只需滿足,且 (若，不符合題意),即,

且.又,所以,此時(shí)

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是