【題目】已知函數(shù), .

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2) .

【解析】試題分析:

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得 ,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2)原問(wèn)題等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)根,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)存在零點(diǎn)的充要條件可得:當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.

試題解析:

1)依題意,得, .

,即,解得;

,即,解得,

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.

2)由題得, .

依題意,方程有實(shí)數(shù)根,

即函數(shù)存在零點(diǎn),

,

,得.

當(dāng)時(shí), ,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

, ,

所以函數(shù)存在零點(diǎn);

當(dāng)時(shí), , 的變化情況如表:

極小值

所以為函數(shù)的極小值,也是最小值.

當(dāng),即時(shí),函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn);

當(dāng),即時(shí),注意到, ,

所以函數(shù)存在零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根.

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