【題目】在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點,EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AF=CF,求證:AC⊥平面BEF;
(2)已知G、H分別是EC和FB的中點,求證:GH∥平面ABC.

【答案】
(1)證明:∵EF∥DB,∴EF與DB確定平面BDEF.

如圖①,連結(jié)DF.∵AF=CF,D是AC的中點,∴DF⊥AC.同理可得BD⊥AC.

又BD∩DF=D,BD、DF平面BDEF,∴AC⊥平面BDEF,即AC⊥平面BEF.


(2)證明:如圖②,設(shè)FC的中點為I,連接GI,HI.

在△CEF中,∵G分別是EC的中點,∴GI∥EF.

又EF∥DB,∴GI∥DB.

在△CFB中,∵H分別是FB的中點,∴HI∥BC.

又HI∩GI=I,∴平面GHI∥平面ABC.

∵GH平面GHI,∴GH∥平面ABC.


【解析】(1)如圖連結(jié)DF,證明DF⊥AC,BD⊥AC.推出AC⊥平面BDEF,即可證明AC⊥平面BEF.(2)設(shè)FC的中點為I,連接GI,HI.證明GI∥EF.GI∥DB.證明HI∥BC.即可證明GHI∥平面ABC.然后證明GH∥平面ABC.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行,以及對直線與平面垂直的判定的理解,了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

練習冊系列答案
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B.[kπ,kπ+ ](k∈Z)
C.[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z)
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