Question

【題目】已知方程有且只有兩個解，，則以下判斷正確的是

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意知函數(shù)f（x）＝lnx﹣2ax+1的圖象與x軸有兩個交點，設(shè)f（x）＝lnx﹣2ax+1，由導數(shù)的運算得：a＞0且f（x）在區(qū)間（0，）為增函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）為減函數(shù)，由圖象知f（x）max＝f（）＝﹣ln2a＞0，結(jié)合f（1）＝1﹣2a＞0，得到選項.

設(shè)f（x）＝lnx﹣2ax+1，

則f′（x）2a，

①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，顯然不滿足題意．

②當a＞0時，

由0時，f′（x）＞0，由x時，f′（x）＜0，

得f（x）在區(qū)間（0，）為增函數(shù)，在區(qū)間（，+∞）為減函數(shù)，

即f（x）max＝f（）＝﹣ln2a，

由方程lnx+1＝2ax有且只有兩個解x1，x2（x1＜x2），

即f（x）＝lnx﹣2ax+1的圖象與x軸有兩個交點，

即，即x1x2且0＜2a＜1，③

又f（1）＝1﹣2a＞0，

由零點定理可得，x1＜1④

結(jié)合③④得：，

故選：D．