【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù),上的最大值;

(Ⅱ)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】(Ⅰ)fxmax=9﹣4e-2.

(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)a=1時(shí),fx)=(x﹣1)2+(x﹣2)ex,可得f′(x)=(x﹣1)(ex+2),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值.

(Ⅱ)令ax﹣1)2+(x﹣2)ex=0,則ax﹣1)2=(2﹣xex,討論fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)yax﹣1)2與函數(shù)gx)=(2﹣xex的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).畫出函數(shù)gx)=(2﹣xex的圖象大致如圖.對(duì)a分類討論即可得出a>0時(shí),fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a<0時(shí),對(duì)a分類討論研究f(x)的圖象的變化趨勢(shì)得出結(jié)論.

(Ⅰ)a=1時(shí),fx)=(x﹣1)2+(x﹣2)ex,

可得f′(x)=2(x﹣1)+(x﹣1)ex=(x﹣1)(ex+2),

f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,

即有fx)在(﹣∞,1)遞減;在(1,+∞)遞增,

所以fx)在[﹣2,1]單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,

所以fxminf(1)=﹣e,又f(﹣2)=9﹣4e-2f(2)=1

所以fxmax=9﹣4e-2.

(Ⅱ)討論fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex的零點(diǎn)個(gè)數(shù),令ax﹣1)2+(x﹣2)ex=0,則ax﹣1)2=(2﹣xex,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)yax﹣1)2gx)=(2﹣xex的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)gx)=(2﹣xex,可得g′(x)=(1﹣xex.由單調(diào)性可得:gx圖象大致如右圖:

所以當(dāng)a=0時(shí),yax﹣1)2=0gx)=(2﹣xex圖象只有一個(gè)交點(diǎn)

a>0時(shí),yax﹣1)2與函數(shù)gx)=(2﹣xex有兩個(gè)交點(diǎn)

當(dāng)a<0時(shí),f′(x)=2a(x﹣1)+(x﹣1)ex=(x﹣1)(ex+2a),

當(dāng)a=-時(shí),f′(x恒成立,fx)在(﹣∞,+∞)遞增,f1)=-e<0,

f3)=-e3=-e3>0,此時(shí)fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a-時(shí)f′(x)=0的兩根為1,ln(-2a),

當(dāng)1<ln(-2a)時(shí),fx)在(﹣∞,1)遞增;在(1,ln(-2a))上遞減,在(ln(-2a),+∞)遞增,又f1)=-e<0,又存在=,使+(a-2)x-a=0,+(a-2)x-a]x=0,而+(a-2)x-a]x=ax(x-1)+(x-2)<ax﹣1)2+(x﹣2)ex= fx),所以f)>0,

此時(shí)fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)1>ln(-2a)時(shí),fx)在(﹣∞, ln(-2a))遞增;在(ln(-2a),1)上遞減,在(1,+∞)遞增,又f(ln(-2a))= a[(ln(-2a)﹣1]2-2a[(ln(-2a)﹣2]=a[-4(ln(-2a)+5]<0,

f1)=-e<0,同樣有f)>0,

所以此時(shí)fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有一個(gè)零點(diǎn).

綜上當(dāng)a>0時(shí),fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有兩個(gè)零點(diǎn)

a≤0時(shí),fx)=ax﹣1)2+(x﹣2)ex有一個(gè)零點(diǎn).

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(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品該質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù);

(2)若將頻率視為概率,某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線均生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則甲、乙兩條流水線分別生產(chǎn)出不合格品約多少件?

(3)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并回答是否有的把握認(rèn)為“該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩條流水線的選擇有關(guān)”?

甲流水線

乙流水線

合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

附:,其中.

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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(2)從乙地所得分?jǐn)?shù)在間的成績(jī)中隨機(jī)抽取2份做進(jìn)一步分析,求所抽取的成績(jī)中,至少有一份分?jǐn)?shù)在間的概率;

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