【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知且，若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求證：．

【答案】(1)見解析 (2)證明見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)后分和兩種情況進(jìn)行討論即可.

(2)由題函數(shù)沒有零點(diǎn),轉(zhuǎn)換為與在無交點(diǎn),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值,進(jìn)而求得的取值范圍.再代入,構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性與最值證明即可.

解法一：（1）

當(dāng)時(shí)，令得或；

令得．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，令得；

令得或．

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述,當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

（2）函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，即在無解

則與在無交點(diǎn)

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

由（1）得在上單調(diào)遞增

要證

即證

即證

即證

令

在時(shí)單調(diào)遞增，

所以原不等式成立．

解法二：（1）同解法一

（2）函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，即在無解

則與在無交點(diǎn)

，在上單調(diào)遞增

，∴

則

要證，

即證，

即證

因?yàn)?/span>，

所以只需證 ，

即證 ，

令

，

在時(shí)單調(diào)遞增，

，

所以原不等式成立．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知有窮數(shù)列共有項(xiàng)，首項(xiàng),設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且其中常數(shù).

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列

（2）若，數(shù)列滿足，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式，求出的值

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【題目】已知與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值是___________．

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【題目】設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)既有極大值，又有極小值，求的取值范圍．

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【題目】在平行四邊形中，，，過點(diǎn)作的垂線，交的延長線于點(diǎn)，.連結(jié)，交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面平面，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：

根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A. 該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高

B. 該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低

C. 該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益

D. 該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且.當(dāng)時(shí)，，若方程有300個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】如圖，橢圓的離心率是，左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求直線方程；

（3）已知點(diǎn)，直線，的斜率分別為，.問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？

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