【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點，設為線段的中點，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由長軸長為4可得a，設出點B，C的坐標，利用斜率之積為，可得，即可得到b2，可得橢圓方程；

（2）設直線BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系，直線的方程為：y（x+2）與x=4聯(lián)立，可得點M，N的坐標，可得線段MN的中點E．利用根與系數(shù)的關系及其斜率計算公式可得，只要證明1即可．

（1）設，，因點在橢圓上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為：，，，

聯(lián)立方程組，消去并整理得，

，則，.

直線的方程為，令得，

同理，；

所以，

代入化簡得，即點，又，

所以，所以.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點；

（Ⅱ）設是的一個零點，證明曲線在點處的切線也是曲線的切線.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓相交于，兩點，點滿足，點，若直線斜率為，求面積的最大值及此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知且，若函數(shù)沒有零點，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點，設為線段的中點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知的圖像關于坐標原點對稱.

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設，若不等式在上恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列的每一項都不等于零，且對于任意的，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“類等比數(shù)列”；已知數(shù)列滿足：，對于任意的，都有；

（1）求證：數(shù)列是“類等比數(shù)列”；

（2）若是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，求數(shù)列的前項之積取最大值時的值；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市《城市總體規(guī)劃（年）》提出到年實現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構建“分鐘社區(qū)生活圈”指標體系，并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為）、良好小區(qū)（指數(shù)為）、中等小區(qū)（指數(shù)為）以及待改進小區(qū)（指數(shù)為）個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標的調(diào)查數(shù)據(jù)：

注：每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中、、、為該小區(qū)四個方面的權重，、、、為該小區(qū)四個方面的指標值（小區(qū)每一個方面的指標值為之間的一個數(shù)值）.

現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：

分組

頻數(shù)

（Ⅰ）分別判斷、、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說明理由；

（Ⅱ）對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣，抽取個小區(qū)進行調(diào)查，若在抽取的個小區(qū)中再隨機地選取個小區(qū)做深入調(diào)查，記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.

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