【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，試求方程的根的個數(shù).

【答案】（1）；（2）；（3）當時，根的個數(shù)為0；當時，根的個數(shù)為1；當時，根的個數(shù)為2

【解析】

（1）直接求導得，利用導數(shù)的幾何意義即可求出在處的切線方程；

（2）對任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意，恒成立，構造函數(shù)，，分類討論和的情況，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和解決恒成立問題，即可求出實數(shù)的取值范圍；

（3）分類討論的取值范圍，由（2）得，當時，方程的根的個數(shù)為0，當時，當時，，得方程的根的個數(shù)為1；當時，根據(jù)零點存在性定理，即可判斷出方程的根的個數(shù)，綜合即可得出結(jié)論.

解：（1）∵，則的定義域為，

∴，∴，

∵，則切點為，

∴曲線在處的切線方程是：，

（2）∵對任意，恒成立，

∴對任意，恒成立，

即恒成立，

令，，

則，

①當時，當時，，∴在上單調(diào)遞減，

∴，

∴，

②當時，當時，，∴在上單調(diào)遞減，

當時，，∴在單調(diào)遞增，

∴，

∴，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

（3）當時，由（2）得，方程的根的個數(shù)為0，

當時，由（2）得，當時，，

∴方程的根的個數(shù)為1，

當時，，，

，

根據(jù)零點存在性定理，在上至少存在1個零點，

又在上單調(diào)遞減，

∴在在上只有1個零點，

，同理，在上只有1個零點，

∴方程的根的個數(shù)為2，

綜上，當時，方程的根的個數(shù)為0；

當 時，方程的根的個數(shù)為1；

當時，方程的根的個數(shù)為2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設數(shù)列（任意項都不為零）的前項和為，首項為，對于任意，滿足.

（1）數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在使得成等比數(shù)列，且成等差數(shù)列？若存在，試求的值；若不存在，請說明理由；

（3）設數(shù)列，，若由的前項依次構成的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求正整數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】兩個數(shù)列、，當和同時在時取得相同的最大值，我們稱與具有性質(zhì)，其中.

（1）設的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；同樣地，的二項展開式中的系數(shù)為（），，記，，，依次下去，，組成的數(shù)列是；判別與是否具有性質(zhì)，請說明理由；

（2）數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，若與具有性質(zhì)，，則這樣的數(shù)列一共有多少個？請說明理由；

（3）兩個有限項數(shù)列與滿足，，且，是否存在實數(shù)，使得與具有性質(zhì)，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省2020年高考將實施新的高考改革方案．考生的高考總成績由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語文、數(shù)學、外語三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為，，，，，，，共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．舉例說明：某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬等級．而等級的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61～70，那么該同學化學學科的轉(zhuǎn)換分計算方法為：設該同學化學學科的轉(zhuǎn)換等級分為，，求得．四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?/span>67．為給高一學生合理選科提供依據(jù)，全省對六個選考科目進行測試，某校高一年級2000人，根據(jù)該校高一學生的物理原始成績制成頻率分布直方圖（見右圖）．由頻率分布直方圖，可以認為該校高一學生的物理原始成績服從正態(tài)分布，用這2000名學生的平均物理成績作為的估計值，用這2000名學生的物理成績的方差作為的估計值．

（1）若張明同學在這次考試中的物理原始分為86分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉(zhuǎn)換后的物理成績（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取100人，記表示這100人中等級成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，求最有可能的取值（概率最大）；

（2）①求，（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點作代表）；

②由①中的數(shù)據(jù)，記該校高一學生的物理原始分高于84分的人數(shù)為，求．

附：若，則，，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們知道，目前最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個洞(或數(shù)字)，其相對兩面之數(shù)字和必為七.顯然，擲一次六面骰，只能產(chǎn)生六個數(shù)之一(正上面).現(xiàn)欲要求你設計一個“十進制骰”，使其擲一次能產(chǎn)生0~9這十個數(shù)之一，而且每個數(shù)字產(chǎn)生的可能性一樣.請問：你能設計出這樣的骰子嗎?若能，請寫出你的設計方案；若不能，寫出理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司培訓員工某項技能，培訓有如下兩種方式：

方式一：周一到周五每天培訓1小時，周日測試

方式二：周六一天培訓4小時，周日測試

公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓；甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓后測試達標的人數(shù)如表：

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進行培訓，分別估計員工受訓的平均時間精確到，并據(jù)此判斷哪種培訓方式效率更高？

在甲乙兩組中，從第三周培訓后達標的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求這2人中至少有1人來自甲組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)，設函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）對任意均有 求的取值范圍.

注：為自然對數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了貫徹落實黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅決防范疫情向校園蔓延，切實保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網(wǎng)絡平臺等多種方式實施線上教育教學工作．某教育機構為了了解人們對其數(shù)學網(wǎng)課授課方式的滿意度，從經(jīng)濟不發(fā)達的A城市和經(jīng)濟發(fā)達的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如下：

若評分不低于80分，則認為該用戶對此教育機構授課方式“認可”，否則認為該用戶對此教育機構授課方式“不認可”．

（Ⅰ）請根據(jù)此樣本完成下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認為城市經(jīng)濟狀況與該市的用戶認可該教育機構授課方式有關？

認可

不認可

合計

A城市

B城市

合計

（Ⅱ）在樣本A，B兩個城市對此教育機構授課方式“認可”的用戶中按分層抽樣的方法抽取6人，若在此6人中任選2人參加數(shù)學競賽，求A城市中至少有1人參加的概率．

參考公式：，其中．

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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