【題目】已知函數(shù),其中且.
(Ⅰ)討論的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若直線的圖象恒在函數(shù)圖像的上方,求的取值范圍;
(Ⅲ)若存在,,使得,求證:.
【答案】(I)在是增函數(shù),在是減函數(shù);(II);(III)證明見解析.
【解析】
試題分析:(I)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(II)根據(jù)直線的圖象恒在函數(shù)圖像的上方,轉(zhuǎn)化為恒成,即可求解的取值范圍;(III)利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)的定義域?yàn)?/span>.
期導(dǎo)數(shù)…………………1分
①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù);…………2分
②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,;在區(qū)間上,.
所以在在是增函數(shù),在是減函數(shù),………………4分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),取,則,不合題意.
當(dāng)時(shí),令,則………………6分
問題化為求恒成立時(shí)的取值范圍.
由于…………………7分
∴在區(qū)間上,;在區(qū)間上,
∴的最小值為,
所以只需,即
∴即…………9分
(Ⅲ)由于當(dāng)時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù),不滿足題意,所以
構(gòu)造函數(shù)
∴…………………11分
則,所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).
∵,則
于是,又,,
由在上減函數(shù)可知,即…………14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,四邊形為正方形,點(diǎn)分別為線段上的點(diǎn),.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí),平面;
(3)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,且函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在處取得極值,其中為的導(dǎo)函數(shù),求的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C三地有直道相通,AB=5千米,AC=3千米,BC=4千米.現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從A地出發(fā)勻速前往B地,經(jīng)過t小時(shí),他們之間的距離為(單位:千米).甲的路線是AB,速度是5千米/小時(shí),乙的路線是ACB,速度是8千米/小時(shí),乙到達(dá)B地后原地等待,設(shè)時(shí),乙到達(dá)C地.
(1)求與的值;
(2)已知警員的對講機(jī)的有效通話距離是3千米.當(dāng)時(shí),求的表達(dá)式,并判斷在上的最大值是否超過3?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,為的中點(diǎn).
(1)若,求證:;
(2)若,且,點(diǎn)在線段上,試確定點(diǎn)的位置,使二面角大小為,并求出的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線:(為參數(shù)),曲線:(為參數(shù)).
(1)設(shè)與相交于,兩點(diǎn),求;
(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形中,,分別在上,且,沿將四邊形折成四邊形,使點(diǎn)在平面上的射影在直線上,且.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長為3的正方形, 平面, 平面, .
(1)證明:平面平面;
(2)在上是否存在一點(diǎn),使平面將幾何體分成上下兩部分的體積比為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直,G,H分別是DF,BE的中點(diǎn).
(1)求證:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4,求四棱錐F—ABCD的體積.
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