如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點.

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)詳見解題分析；(Ⅱ)詳見解題分析；(Ⅲ)直線與平面所成角的正弦值為．

試題分析：(Ⅰ)如圖，在三棱柱中，要證明//平面，只要在平面內找的平行線，也即只要證明//即可．需要先證明四邊形為平行四邊形，這可有且//得到；(Ⅱ)要證明平面平面，只要能在其中一個平面內找到另一個平面的垂線即可．可以嘗試證明平面由于是正三角形，為的中點，故，為此只要證明，它可以利益底面得到；(Ⅲ)首先需找到或作出線與平面所成角．按照定義，結合已知，在平面內，過點作交直線于點，連接．再利用面面垂直的性質定理，證明平面．由此得為直線與平面所成角．最后在中，利用銳角三角函數(shù)求直線與平面所成角的正弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：如圖，在三棱柱中，//，且連接在中，分別為的中點，且//，又為的中點，可得且//即四邊形為平行四邊形，//．又平面平面//平面；
(Ⅱ)證明：由于是正三角形，為的中點，故又由于側棱底面底面， 因此平面平面，平面平面；
(Ⅲ)解：在平面內，過點作交直線于點，連接．由于平面平面，而直線是平面與平面的交線，故平面．由此得為直線與平面所成角．設棱長為,可得由∽,易得．在中，．所以直線與平面所成角的正弦值為．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，側面，均為正方形，∠,點是棱的中點.

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點.

（1）若，求證：平面平面；
（2）點在線段上，，若平面平面，且，求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,側面底面，且,設、分別為、的中點．

(1)求證：//平面；
(2)求證：面平面．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于

(1)求證：⊥EF;
(2)求

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F(xiàn)是棱DD1上的動點．

(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90°？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，底面為直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐的底面是正方形，⊥底面，且，點、分別為側棱、的中點 

（1）求證：∥平面；
（2）求證：⊥平面.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案