如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．
(1)見解析；(2).

試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理，得到 和 ，因為 ，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知， ；(2)先利用直線和平面垂直的性質(zhì)定理得到，那么為正方形，得到邊的值，然后根據(jù)已知的垂直關系，找到線面角，根據(jù)線面角的正切值求出，根據(jù)此四棱錐的性質(zhì)可知，所求的外接球的直徑即是線段，由已求得的量結合勾股定理求得的值，再由球的表面積公式：，求此四棱錐的外接球的表面積.
試題解析：(1)證明　∵，，∴．2分
同理由，可證得．                         4分
又，∴．                                6分
(2)由(1)知，又， ∴．
故矩形為正方形，∴．所以    8分
因為，所以與平面所成角為，
因為與平面所成角的正切值為，即，
所以，                         10分
又，所以，
所以四棱錐的外接球表面積為．12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，點M在線段EC上且不與E，C重合.

（Ⅰ）當點M是EC中點時，求證：平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐M BDE的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖,三棱柱ABC－A1B1C1中,側棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等.D,E,F分別為棱AB,BC,A1C1的中點.

(Ⅰ)證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，，分別是，的中點，點在直線上，且；
（1）證明：無論取何值，總有；
（2）當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取最大值時的正切值；
（3）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為30º，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，PA垂直于圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E, F分別是點A在P B, P C上的射影，給出下列結論：
①；②；③；④.正確命題的個數(shù)為（  ）
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知三條不重合的直線，兩個不重合的平面，有下列命題：
①若，且，則
②若，且，則
③若，，則
④若，則
其中真命題的個數(shù)是（    ）
A．4B．3 C．2D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

設a ，b是平面外的兩條直線，給出下列
四個命題：①若a∥b ，a∥，則b∥；
②若a∥b ，b 與相交，則a 與也相交；③若a∥，b∥，則a∥b ；④若a 與b 異面，a∥，則．則所有正確命題的序號是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有(  )
A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面
C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設是兩條直線，是兩個平面，下列能推出的是(          )
A．B．
C．D．

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