【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)函數(shù)的圖象與的圖象無公共點,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù),使得對任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請求出整數(shù)的最大值;若不存在,請說理由.
(參考數(shù)據(jù):,,).
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)1
【解析】
試題分析:(Ⅰ)函數(shù)圖象無公共點,可以轉(zhuǎn)化為方程無實根,此方程可用分離參數(shù)法化為無實根,從而只要求出函數(shù)的值域即可,這可導數(shù)的知識求得;(Ⅱ)同樣問題轉(zhuǎn)化為“不等式對恒成立”,即對恒成立,因此問題轉(zhuǎn)化為
求函數(shù)的最小值.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)與無公共點,
等價于方程在無解
令,則令得
+ | 0 | - | |
增 | 極大值 | 減 |
因為是唯一的極大值點,故
故要使方程在無解,
當且僅當,故實數(shù)的取值范圍為
(Ⅱ)假設存在實數(shù)滿足題意,則不等式對恒成立.
即對恒成立.
令,則,
令,則,
∵在上單調(diào)遞增,,,
且的圖象在上連續(xù),
∴存在,使得,即,則,
∴ 當時,單調(diào)遞減;
當時,單調(diào)遞增,
則取到最小值,
∴ ,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
,
∴存在實數(shù)滿足題意,且最大整數(shù)的值為.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當時,求曲線在點處的切線的斜率;
(2)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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【題目】現(xiàn)有編號分別為1,2,3,4,5的五道不同的政治題和編號分別為6,7,8,9的四道不同的歷史題.甲同學從這九道題中一次性隨機抽取兩道題,每道題被抽到的概率是相等的,用符號(x,y)表示事件“抽到的兩道題的編號分別為x,y,且x<y.”.
(1)問有多少個基本事件,并列舉出來;
(2)求甲同學所抽取的兩道題的編號之和小于17但不小于11的概率.
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【題目】某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠,第一年共支出12萬元,以后每年支出增加4萬元,從第一年起每年的蔬菜銷售收入均為50萬元,設表示前年的純利潤總和(=前年的總收入前年的總支出投資額).
(1)該廠從第幾年開始盈利?
(2)若干年后,投資商為開發(fā)新項目,對該廠有兩種處理方案:
① 當年平均利潤達到最大時,以48萬元出售該廠;
② 當純利潤總和達到最大時,以16萬元出售該廠,
問哪種方案更合算?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導函數(shù)f′(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值.
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【題目】已知二次函數(shù)的對稱軸為,.
(1)求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值;
(2)試確定的取值范圍,使至少有一個實根;
(3)當時,,對任意有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知隨機變量X~N(μ,σ2),且其正態(tài)曲線在(-∞,80)上是增函數(shù),在(80,+∞)上為減函數(shù),且P(72≤X≤88)=0.682 6.
(1)求參數(shù)μ,σ的值;
(2)求P(64<X≤72).
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