Question

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．現(xiàn)有兩個函數(shù)：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，則函數(shù)f（x）、g（x）與集合M的關(guān)系為

f（x）∉M，g（x）∈M

．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）得出k=

ax

ax- 1 2

，k的取值與x有關(guān)，不是常數(shù)，與假設(shè)矛盾，從而得出結(jié)論；（2）由于當(dāng)log₂（kx）=

k

2

+log₂x成立時，等價于log₂k=

k

2

，此式顯然當(dāng)k=4時此式成立，可見，存在非零常數(shù)k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x），從而得出答案．

解答：解：（1）假設(shè)g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）
⇒a（kx）+b=

k

2

+（ax+b）
⇒k=

ax

ax- 1 2

⇒k的取值與x有關(guān)，不是常數(shù)，與假設(shè)矛盾
⇒g（x）不屬于集合M

（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x
⇒log₂k+log₂x=

k

2

+log₂x
⇒log₂k=

k

2

，
當(dāng)k=4時此式成立，
可見，存在非零常數(shù)k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案為：f（x）∉M，g（x）∈M．

點(diǎn)評：本小題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷、對數(shù)的運(yùn)算法則、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、方程式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．