已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:在定義域內(nèi)存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn),證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.
分析:(1)集合M中元素的性質(zhì),即有f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,代入函數(shù)解析式列出方程,進(jìn)行求解,若無解則此函數(shù)不是M的元素,若有解則此函數(shù)是M的元素;
(2)根據(jù)f(x0+1)=f(x0)+f(1)和對數(shù)的運(yùn)算,求出關(guān)于a的方程,再根據(jù)方程有解的條件求出a的取值范圍,當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí),考慮是否為零的情況;
(3)利用f(x0+1)=f(x0)+f(1)和f(x)=2x+x2∈M,整理出關(guān)于x0的式子,利用y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn),即對應(yīng)方程有根,與求出的式子進(jìn)行比較和證明.
解答:解:(1)若f(x)=
1
x
∈M,在定義域內(nèi)存在x0,則
1
x0+1
=
1
x0
+1?x02+x0
+1=0,
∵方程x02+x0+1=0無解,∴f(x)=
1
x
∉M;(5分)
(2)由題意得,f(x)=lg
a
x2+1
∈M,
∴l(xiāng)g
a
(x+1)2+1
=lg
a
x2+1
+lg
a
2
,(a-2)x2
+2ax+2(a-1)=0,
當(dāng)a=2時(shí),x=-
1
2
;
當(dāng)a≠2時(shí),由△≥0,得a2-6a+4≤0,a∈[3-
5
,2)∪(2,3+
5
]

綜上,所求的a∈[3-
5
,3+
5
]
;(10分)
(3)∵函數(shù)f(x)=2x+x2∈M,
f(x0+1)-f(x0)-f(1)=2x0+1+(x0+1)2-2x0-x02-3
=2x0+2(x0-1)=2[2x0-1+(x0-1)],
又∵函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn),設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,
2a+a=0?2x0-1+(x0-1)=0,其中x0=a+1
∴f(x0+1)=f(x0)+f(1),即f(x)=2x+x2∈M.(16分)
點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是元素與集合的關(guān)系,此題的集合中的元素是集合,主要利用了元素滿足的恒等式進(jìn)行求解,根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的元素性質(zhì)進(jìn)行化簡,考查了邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)k,對定義域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判斷一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)是否屬于集合M;
(2)證明函數(shù)f(x)=log2x屬于集合M,并找出一個(gè)常數(shù)k;
(3)已知函數(shù)f(x)=logax( a>1)與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明f(x)=logax∈M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的全體;
①當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù);
②對于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三個(gè)函數(shù)f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1,f3(x)=ln
x+1
中,屬于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(寫出您認(rèn)為正確的所有函數(shù).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•嘉定區(qū)三模)已知集合M是滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù);②在f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)?span id="rdrvzhv" class="MathJye">[
a
2
 , 
b
2
].若函數(shù)g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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