已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:(1)將f(x)=x代入定義(x+T)=T f(x)驗(yàn)證知函數(shù)f(x)=x不屬于集合M.
(2)由題意存在x∈R使得ax=x,由新定義知存在非零常數(shù)T使得aT=T,將函數(shù)關(guān)系式代入f(x+T)=T f(x)驗(yàn)證知
f(x)=ax∈M.
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,依據(jù)定義應(yīng)該有sin(kx+kT)=Tsinkx∈[-1,1]對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,故T=±1.將T=±1代入sin(kx+kT)=Tsinkx求k的范圍即可.
解答:解:(1)對(duì)于非零常數(shù)T,
f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.
因?yàn)閷?duì)任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,
所以f(x)=x∉M;
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax(a>0且a≠1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn),
所以方程組:
y=ax
y=x
有解,消去y得ax=x,
顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T.
于是對(duì)于f(x)=ax有f(x+T)=ax+T=aT•ax=T•ax=Tf(x)故f(x)=ax∈M;
(3)當(dāng)k=0時(shí),f(x)=0,顯然f(x)=0∈M.
當(dāng)k≠0時(shí),因?yàn)閒(x)=sinkx∈M,所以存在非零常數(shù)T,
對(duì)任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,
即sin(kx+kT)=Tsinkx.
因?yàn)閗≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立,
只有T=±1,當(dāng)T=1時(shí),sin(kx+k)=sinkx成立,
則k=2mπ,m∈Z.
當(dāng)T=-1時(shí),sin(kx-k)=-sinkx成立,
即sin(kx-k+π)=sinkx成立,
則-k+π=2mπ,m∈Z,即k=-(2m-1)π,m∈Z.
綜合得,實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ,m∈Z}.
點(diǎn)評(píng):考查新定義下問題的證明與求解,此類題的特點(diǎn)是探究時(shí)只能以新定義的規(guī)則為依據(jù),不能引入熟悉的算法,這是做此類題時(shí)要注意的.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:在定義域內(nèi)存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn),證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)k,對(duì)定義域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判斷一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)是否屬于集合M;
(2)證明函數(shù)f(x)=log2x屬于集合M,并找出一個(gè)常數(shù)k;
(3)已知函數(shù)f(x)=logax( a>1)與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明f(x)=logax∈M.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的全體;
①當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù);
②對(duì)于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三個(gè)函數(shù)f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1,f3(x)=ln
x+1
中,屬于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(寫出您認(rèn)為正確的所有函數(shù).)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•嘉定區(qū)三模)已知集合M是滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù);②在f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)?span id="qoyycfi" class="MathJye">[
a
2
 , 
b
2
].若函數(shù)g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案