Question

【題目】已知數(shù)列中，已知，對任意都成立，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．

（1）若是等差數(shù)列，求k的值；

（2）若，，求；

（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)，，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2），（3）存在實(shí)數(shù)k滿足題意，

【解析】

（1）由等差數(shù)列可得,即,進(jìn)而得到；

（2）將代回可得,進(jìn)而得到,然后分為奇數(shù)與偶數(shù)求得即可；

（3）由等比數(shù)列可得,分別令,,為等差中項(xiàng)求得,進(jìn)而求出即可

解：（1）若是等差數(shù)列,則對任意,,即,

所以,故

（2）當(dāng)時(shí),,即,

所以,故,

所以,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),

,

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),,

,

綜上,,

（3）存在,,

設(shè)是等比數(shù)列,則公比,由題意,

所以,,,

①若為等差中項(xiàng),則,即,即,

解得,不符合題意；

②若為等差中項(xiàng),則,即,即,

解得或（舍）,所以；

③若為等差中項(xiàng),則,即,即，

解得或（舍）,所以；

綜上,存在實(shí)數(shù)k滿足題意,