【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
【答案】(1) ;(2)Tn=(n-1)·2n+1.
【解析】試題分析:
(1)設(shè)數(shù)列的公差為, 的公比為,運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,可得的方程組,解方程可得公差和公比,即可得到所求通項公式;
(2)求得,運用乘公比錯位相減法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,化簡整理即可得到所求的和.
試題解析:
(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,{bn}的公比為q,
依題意得解得d=1,q=2.
所以an=1+(n-1)×1=n,bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,則
Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
2Tn=2·20+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②
①-②得:-Tn=1+21+22+…+2n-1-n·2n
=-n·2n=(1-n)·2n-1,
所以Tn=(n-1)·2n+1.
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【題目】某項競賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個階段進行,每個階段選手要回答一個問題.規(guī)定正確回答問題者進入下一階段競賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是且各階段通過與否相互獨立.
(1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.
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【題目】(2017·太原市模擬題)已知a,b,c分別是△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊,a=2bcosB,b≠c.
(1)證明:A=2B;
(2)若a2+c2=b2+2acsinC,求A.
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【題目】在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),若以該直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-4cos θ=0.
(1)求直線l與曲線C的普通方程;
(2)已知直線l與曲線C交于A,B兩點,設(shè)M(2,0),求的值.
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【題目】
近年來,隨著雙十一、雙十二等網(wǎng)絡(luò)活動的風(fēng)靡,各大網(wǎng)商都想出了一系列的降價方案,以此來提高自己的產(chǎn)品利潤. 已知在2016年雙十一某網(wǎng)商的活動中,某店家采取了兩種優(yōu)惠方案以供選擇:
方案一:購物滿400元以上的,超出400元的部分只需支出超出部分的x%;
方案二:購物滿400元以上的,可以參加電子抽獎活動,即從1,2,3,4,5,6這6張卡牌中任取2張,將得到的數(shù)字相加,所得結(jié)果與享受優(yōu)惠如下:
數(shù)字和 | [3,4] | [5,7] | [8,9] | [10,11] |
實際付款 | 原價 | 9折 | 8折 | 5折 |
(Ⅰ)若某顧客消費了800元,且選擇方案二,求該顧客只需支付640元的概率;
(Ⅱ)若某顧客購物金額為500元,她選擇了方案二后,得到的數(shù)字之和為6,此時她發(fā)現(xiàn)使用方案一、二最后支付的金額相同,求x的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a>0)的最小值是1.
(1)求a;
(2)若關(guān)于x的方程f2(x)ex-6mf(x)+9me-x=0在區(qū)間[1,+∞)有唯一的實根,求m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若x>1時,f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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