Question

已知F₁、F₂分別為橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦點，點P在橢圓上，若P、F₁、F₂是一個直角三角形的三個頂點，則△PF₁F₂的面積為

9 7

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程求得c=

7

＜b，從而判斷出點P對兩個焦點張角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角頂點在焦點處，再利用橢圓的方程算出點P到F₁F₂軸的距離，利用三角形面積公式加以計算，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：設(shè)橢圓短軸的一個端點為M，
∵橢圓

x2

16

+

y2

9

=1中，a=4且b=3，∴c=

a2-b2

=

7

＜b
由此可得∠OMF₁＜45°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，只能是∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
令x=±

7

，得y²=9(1-

7

16

)=

81

16

，解得|y|=

9

4

．
即P到F₁F₂軸的距離為

9

4

，
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|×

9

4

=

9 7

4

．
故答案為：

9 7

4

點評：本題給出點P是橢圓上與兩個焦點構(gòu)成直角三角形的點，求△PF₁F₂的面積．著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質(zhì)和三角形的面積計算等知識，屬于中檔題．