Question

【題目】設(shè)函數(shù)，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)圖象于點(diǎn)，以為切點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線交軸于點(diǎn)，再過作軸的垂線交函數(shù)圖象于點(diǎn)，，以此類推得點(diǎn)，記的橫坐標(biāo)為，．

（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，記（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程，代入可求得，由此可得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；

（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.

（1）證明：函數(shù)，，

以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為：，

當(dāng)時(shí)，，即，

又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列,.

（2）解：由題意得：，

，

…①，

則…②，

①②得：，

.