【題目】已知函數(shù)(其中).
(1)當時,求零點的個數(shù)k的值;
(2)在(1)的條件下,記這些零點分別為,求證: .
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當x>時, , 為增函數(shù);當時, , 為減函數(shù),所以,判斷出、、; 的符號,結(jié)合函數(shù)圖象,利用零點定理可得結(jié)果;(2)由(1)知的兩個零點為,不妨設, 可得,進而, ,只需利用導數(shù)證明即可得結(jié)論.
試題解析:(1)由題x>0, ,則,
由得,
當x>時, , 為增函數(shù);當0<x< 時, , 為減函數(shù),
所以.
因為,所以,
而
,又,
所以當時, 零點的個數(shù)為2.
(2)由(1)知的兩個零點為,不妨設,
于是且,
兩式相減得(*), 令,
則將代入(*)得,進而,
所以,
下面證明,其中,
即證明,設,
則,令 ,則,
所以為增函數(shù),即為增函數(shù),
故,故為減函數(shù),
于是,即.
所以有,從而.而由,得,
所以,得證.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】據(jù)調(diào)查顯示,某高校萬男生的身高服從正態(tài)分布,現(xiàn)從該校男生中隨機抽取名進行身高測量,將測量結(jié)果分成組: , , , , , ,并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求這名男生中身高在(含)以上的人數(shù);
(Ⅱ)從這名男生中身高在以上(含)的人中任意抽取人,該人中身高排名(從高到低)在全校前名的人數(shù)記為,求的數(shù)學期望.
(附:參考數(shù)據(jù):若服從正態(tài)分布,則, , .)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市計劃銷售某種食品,現(xiàn)邀請甲、乙兩個商家進場試銷10天.兩個商家提供的返利方案如下:甲商家每天固定返利60元,且每賣出一件食品商家再返利3元;乙商家無固定返利,賣出30件以內(nèi)(含30件)的食品,每件食品商家返利5元,超出30件的部分每件返利8元.經(jīng)統(tǒng)計,兩個商家的試銷情況莖葉圖如下:
(1)現(xiàn)從甲商家試銷的10天中抽取兩天,求這兩天的銷售量都小于30的概率;
(2)若將頻率視作概率,回答以下問題:
① 記商家乙的日返利額為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學期望;
② 超市擬在甲、乙兩個商家中選擇一家長期銷售,如果僅從日平均返利額的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為超市作出選擇,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a為常數(shù)).
(1)求不等式的解集;
(2)當a>0時,若對于任意的 [3,4],恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在①函數(shù)為奇函數(shù);②當時,;③是函數(shù)的一個零點這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答,已知函數(shù),的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為,______.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】已知向量=(sinx,cosx),=(sin(x﹣),sinx),函數(shù)f(x)=2,g(x)=f().
(1)求f(x)在[,π]上的最值,并求出相應的x的值;
(2)計算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,討論g(x)在[t,t+2]上零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】年春節(jié)期間,某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過元(含元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球個,黑球個)的抽獎盒中,一次性摸出個球,其中獎規(guī)則為:若摸到個紅球,享受免單優(yōu)惠;若摸出個紅球則打折,若摸出個紅球,則打折;若沒摸出紅球,則不打折.方案二:從裝有個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球個,黑球個)的抽獎盒中,有放回每次摸取球,連摸次,每摸到次紅球,立減元.
(1)若兩個顧客均分別消費了元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率;
(2)若某顧客消費恰好滿元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】古代數(shù)學名著《九章算術》中的“盈不足”問題知兩鼠穿垣.今有垣厚5尺,兩鼠對穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.問:何日相逢?題意是:由垛厚五尺(舊制長度單位, 尺= 寸)的墻壁,大小兩只老鼠同時從墻的兩面,沿一直線相對打洞.大鼠第一天打進尺,以后每天的速度為前一天的倍;小鼠第一天也打進尺,以后每天的進度是前一天的一半.它們多久可以相遇?
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
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