【題目】已知向量=(sinx,cosx),=(sin(x﹣),sinx),函數(shù)f(x)=2,g(x)=f().
(1)求f(x)在[,π]上的最值,并求出相應(yīng)的x的值;
(2)計(jì)算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)的值;
(3)已知t∈R,討論g(x)在[t,t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】(1) .
(2) .
(3) g(x)2個(gè)零點(diǎn).
【解析】
(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,求出f(x)的表達(dá)式,再根據(jù)定義域求出最值及相應(yīng)的自變量。
(2)根據(jù)三角函數(shù)表達(dá)式,求出三角函數(shù)的變化周期及函數(shù)值,代入求解。
(3)跟雷討論在t取不同范圍時(shí),交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題。
(1)f(x)=2=2sinxsin(x﹣)+2sinxcosx=sin2x+sin2x
=sin2x﹣cos2x+=sin(2x﹣)+,
∵x∈[,π],∴≤2x﹣≤,
∴﹣1≤sin(2x﹣)≤,f(x)最小值為 ﹣1,f(x)最大值為 .
(2)由(1)得,f(x)=sin(2x﹣)+.∴g(x)=f()=sin(x﹣)+.T=4,
∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=g(5)+g(6)+g(7)+g(8)=…=g(2009)+g(2010)+g(2011)+g(2012).g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=,g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2014)=503×+g(1)+g(2)=1006+= .
(3)g(x)在[t,t+2]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于y=sin(x﹣)與y=﹣兩圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)數(shù)的圖象.
當(dāng)4k<t<+4k,k∈Z時(shí),由圖象可知,y=sin(x﹣)與y=﹣兩圖象無(wú)交點(diǎn),g(x)無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)+4k≤t<2+4k或+4k<t≤4+4k時(shí),y=sin(x﹣)與y=﹣兩圖象1個(gè)交點(diǎn),g(x)1個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)2+4k≤t≤+4k時(shí),y=sin(x﹣)與y=﹣兩圖象2個(gè)交點(diǎn),g(x)2個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),
(1)由圖中數(shù)據(jù)求a的值;
(2)若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng),則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為多少?
(3)估計(jì)這所小學(xué)的小學(xué)生身高的眾數(shù),中位數(shù)(保留兩位小數(shù))及平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表是20個(gè)國(guó)家和地區(qū)的二氧化碳排放總量及人均二氧化碳排放量.
國(guó)家和地區(qū) | 排放總量/千噸 | 人均排放量/噸 | 國(guó)家和地區(qū) | 排放總量/千噸 | 人均排放量/噸 | |
A | 10330000 | 7.4 | K | 480000 | 2.0 | |
B | 5300000 | 16.6 | L | 480000 | 7.5 | |
C | 3740000 | 7.3 | M | 470000 | 3.9 | |
D | 2070000 | 1.7 | N | 410000 | 5.3 | |
E | 1800000 | 12.6 | O | 390000 | 16.9 | |
F | 1360000 | 10.7 | P | 390000 | 6.4 | |
G | 840000 | 10.2 | Q | 370000 | 5.7 | |
H | 630000 | 12.7 | R | 330000 | 6.2 | |
I | 550000 | 15.7 | S | 320000 | 6.2 | |
J | 510000 | 2.6 | T | 490000 | 16.6 |
(1)這20個(gè)國(guó)家和地區(qū)人均二氧化碳排放量的中位數(shù)是多少?
(2)針對(duì)這20個(gè)國(guó)家和地區(qū),請(qǐng)你找出二氧化碳排放總量較少的前15%的國(guó)家和地區(qū).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中).
(1)當(dāng)時(shí),求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)k的值;
(2)在(1)的條件下,記這些零點(diǎn)分別為,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)),現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫(xiě)出直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于, 兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“楊輝三角”是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就,是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示,去除所有為1的項(xiàng),依此構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…,則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(﹣4﹣x),f(0)=3,若是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),且.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若x>0,求g(x)=的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù),求證:函數(shù)的極大值小于1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在圓 上,點(diǎn)在圓 上,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是
A. 的取值范圍為
B. 取值范圍為
C. 的取值范圍為
D. 若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
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