Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在橢圓：上.若點(diǎn)，，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)橢圓的焦距為4，，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線為直線，且直線不與軸重合.

①若點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；

② 若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸的交點(diǎn)為，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①.或.②..

【解析】

（1）由題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得.則橢圓的離心率.

（2）①由題意可得橢圓的方程為，設(shè)，計(jì)算可得中點(diǎn)為，因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，據(jù)此有.聯(lián)立方程可得斜率為1或，直線的方程為或.

②設(shè)：，則直線的方程為：，所以.聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得.結(jié)合直線過(guò)點(diǎn)和得到關(guān)于m的不等式，求解不等式可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為.

（1）設(shè)，

則，.

因?yàn)?/span>，

所以，得，

代入橢圓方程得.

因?yàn)?/span>，所以.

（2）①因?yàn)?/span>，所以，，

所以橢圓的方程為，

設(shè)，則.

因?yàn)辄c(diǎn)，所以中點(diǎn)為，

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，直線不與軸重合，

所以，所以，化簡(jiǎn)得.

將代入化簡(jiǎn)得，

解得（舍去），或.

將代入得，

所以為，

所以斜率為1或，直線的斜率為-1或，

所以直線的方程為或.

②設(shè)：，則直線的方程為：

，所以.

將直線的方程代入橢圓的方程消去得.

設(shè)，，中點(diǎn)為，

，代入直線的方程得，

代入直線的方程得.

又因?yàn)?/span>，

化得.

將代入上式得，解得，

所以，且，

所以.

綜上所述，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為.