Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

（1）求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；

（2）求最大值；

（3）若直線分別與軸交于點(diǎn)，求證：的面積與的面積的乘積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)得到的值，結(jié)合離心率得到的值，得到答案；

（2）根據(jù)橢圓的幾何特點(diǎn)，得到與軸重合時(shí)，最大，從而得到答案；

（3）根據(jù)對(duì)稱性設(shè)，，表示出直線、，得到、坐標(biāo)，從而表示出的面積與的面積，得到面積的乘積為定值.

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，

因?yàn)殡x心率為，所以，

而，所以，

所以求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為；

（2）由（1）可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

可知當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí)候最長(zhǎng)，

此時(shí).

（3）由對(duì)稱性可知、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以設(shè)，則，

不妨假設(shè)，

則直線的方程為，

令，得到，

所以，

同理，

所以，

所以

而在橢圓上，所以，即，

所以.

所以的面積與的面積的乘積為定值.