【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且，

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大�。�

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明側(cè)面，進(jìn)而可得出；

(Ⅱ)根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，得到且底面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，再求出平面的一個法向量，根據(jù)直線與平面所成角的大小為，求出，再求出平面的一個法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.

（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以.

由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，

得平面.

又平面，所以，

因?yàn)槿庵?/span>是直三棱柱，則底面，所以

又，從而側(cè)面，

又側(cè)面，故．

(Ⅱ)由（1）知且底面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為， ，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，，，.

設(shè)平面的一個法向量，由，，得.

令，得，則.

設(shè)直線與平面所成的角為，則，

所以，

解得， 即.

又設(shè)平面的一個法向量為，同理可得.

設(shè)銳二面角的大小為，則，

由，得.

∴銳二面角的大小為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】某學(xué)校高三年級有兩個文科班，四個理科班，現(xiàn)每個班指定1人，對各班的衛(wèi)生進(jìn)行檢查.若每班只安排一人檢查，且文科班學(xué)生不檢查文科班，理科班學(xué)生不檢查自己所在的班，則不同安排方法的種數(shù)是( )

A.48B.72C.84D.168

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【題目】某農(nóng)場所對冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了2019年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下表：

日期

12月1日

12月2日

12月3日

12月4日

12月5日

溫差

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y（顆）

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；

(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；并預(yù)報(bào)當(dāng)溫差為時(shí)，種子發(fā)芽數(shù).

附：回歸直線方程：，其中；

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【題目】已知定點(diǎn)，動點(diǎn)在軸上運(yùn)動，過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使．點(diǎn)的軌跡是曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個動點(diǎn)，滿足，證明：直線過定點(diǎn)；

（3）若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，，求直線的斜率的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù) ．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

（ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（ⅱ）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．

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【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.過原點(diǎn)的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn).

（1）求橢圓長半軸長；

（2）求最大值；

（3）若直線分別與軸交于點(diǎn)，求證：的面積與的面積的乘積為定值.

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【題目】為降低空氣污染，提高環(huán)境質(zhì)量，政府決定對汽車尾氣進(jìn)行整治.某廠家生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車尾氣凈化器，為保證凈化器的質(zhì)量，分別從甲、乙兩種型號的凈化器中隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行產(chǎn)品性能質(zhì)量評估，評估綜合得分都在區(qū)間.已知評估綜合得分與產(chǎn)品等級如下表：

根據(jù)評估綜合得分，統(tǒng)計(jì)整理得到了甲型號的樣本頻數(shù)分布表和乙型號的樣本頻率分布直方圖（圖表如下）.

甲型 乙型

（Ⅰ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取一件，估計(jì)這件產(chǎn)品為二級品的概率；

（Ⅱ）從廠家生產(chǎn)的乙型凈化器中隨機(jī)抽取3件，設(shè)隨機(jī)變量為其中二級品的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，請自定標(biāo)準(zhǔn)，對甲、乙兩種型號汽車尾氣凈化器的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較.

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【題目】在直三棱柱中，，，D為線段AC的中點(diǎn).

（1）求證：：

（2）求直線與平面所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值.

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【題目】設(shè)，。

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論零點(diǎn)的個數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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