【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的極大值和極小值分別為,,證明:.
【答案】(1)當(dāng)時,單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞增;(2)證明見解析.
【解析】
(1)利用切線與直線相互垂直,得到斜率之間的關(guān)系,計算出的值;對求導(dǎo)后,對導(dǎo)函數(shù)因式分解,然后判斷符號并寫出單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)出極大值點和極小值點,利用導(dǎo)函數(shù)找到韋達定理與的關(guān)系(注意范圍),同時將化簡至全部用表示,然后構(gòu)造函數(shù)分析最值.
(1)解:由,得,
∴,
又曲線在點處的切線與直線垂直,
∴,即.
則,得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;
(2)設(shè),為方程的兩個實數(shù)根,則,,
由題意得,解得,
又因為函數(shù)的極大值和極小值分別為,,
則,
.
令,
則,當(dāng)時,,所以是增函數(shù),
則,即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司結(jié)合公司的實際情況針對調(diào)休安排展開問卷調(diào)查,提出了A,B,C三種放假方案,調(diào)查結(jié)果如下:
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n個人,已知從“支持A方案”的人中抽取了6人,求n的值;
(2)在“支持B方案”的人中,用分層抽樣的方法抽取5人看作一個總體,從這5人中任意選取2人,求恰好有1人在35歲以上(含35歲)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家,他所著《算學(xué)啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中提到一些堆垛問題,如“三角垛果子”,就是將一樣大小的果子堆垛成正三棱錐,每層皆堆成正三角形,從上向下數(shù),每層果子數(shù)分別為1,3,6,10,…,現(xiàn)有一個“三角垛果子”,其最底層每邊果子數(shù)為10,則該層果子數(shù)為( 。
A. 50B. 55C. 100D. 110
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評選活動,評委由本校全體學(xué)生組成,對兩位選手,隨機調(diào)查了個學(xué)生的評分,得到下面的莖葉圖:
通過莖葉圖比較兩位選手所得分數(shù)的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,得出結(jié)論即可);
校方將會根據(jù)評分記過對參賽選手進行三向分流:
所得分數(shù) | 低于分 | 分到分 | 不低于分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 復(fù)賽待選 | 直接晉級 |
記事件“獲得的分流等級高于”,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABED中,AB//DE,ABBE,點C在AB上,且ABCD,AC=BC=CD=2,現(xiàn)將△ACD沿CD折起,使點A到達點P的位置,且PE.
(1)求證:平面PBC 平面DEBC;
(2)求三棱錐P-EBC的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人,1000人,為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)一模考試的數(shù)學(xué)成績情況,采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,并作出了頻數(shù)分布統(tǒng)計表如下:
(1)計算,的值;
(2)若規(guī)定考試成績在為優(yōu)秀,請根據(jù)樣本估計乙校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率;
(3)若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,若按是否優(yōu)秀來判斷,是否有的把握認為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.
附:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公共汽車站有6個候車位排成一排,甲、乙、丙三個乘客在該汽車站等候228路公交車的到來,由于市內(nèi)堵車,228路公交車一直沒到站,三人決定在座位上候車,且每人只能坐一個位置,則恰好有2個連續(xù)空座位的候車方式的種數(shù)是( )
A.48B.54C.72D.84
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年3月5日,國務(wù)院總理李克強作的政府工作報告中,提到要“懲戒學(xué)術(shù)不端,力戒學(xué)術(shù)不端,力戒浮躁之風(fēng)”.教育部日前公布的《教育部2019年部門預(yù)算》中透露,2019年教育部擬抽檢博士學(xué)位論文約6000篇,預(yù)算為800萬元.國務(wù)院學(xué)位委員會、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學(xué)位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定:每篇抽檢的學(xué)位論文送3位同行專家進行評議,3位專家中有2位以上(含2位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文,將認定為“存在問題學(xué)位論文”.有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文,將再送2位同行專家進得復(fù)評,2位復(fù)評專家中有1位以上(含1位)專家評議意見為“不合格”的學(xué)位論文,將認定為“存在問題學(xué)位論文”.設(shè)每篇學(xué)位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為,且各篇學(xué)位論文是否被評議為“不合格”相互獨立.
(1)記一篇抽檢的學(xué)位論文被認定為“存在問題學(xué)位論文”的概率為,求;
(2)若擬定每篇抽檢論文不需要復(fù)評的評審費用為900元,需要復(fù)評的評審費用為1500元;除評審費外,其它費用總計為100萬元.現(xiàn)以此方案實施,且抽檢論文為6000篇,問是否會超過預(yù)算?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)在處有極值,且其圖像在處切線與平行.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)的極大值與極小值的差
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