如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥底面ABC,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,點D是AB的中點.
(1)求證:AC1∥平面CDB1;
(2)求四面體B1C1CD的體積.
(1)證明過程詳見試題解析;(2)三棱錐D-B1C1C的體積為.
解析試題分析:(1)連接BC1,設(shè)BC1與B1C的交點為E,連接DE,證得DE∥AC1;由線面平行的判定定理即可證明AC1∥平面CDB1;(2)在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點F,可以證明DF是三棱錐D-CC1B1的高,再由錐體體積公式即可求解.
試題解析:
(1)證明:連結(jié)BC1,設(shè)BC1與B1C的交點為E,連結(jié)DE.
∵三棱柱ABC-A1B1C1,CC1⊥底面ABC,CC1=BC=2,
∴四邊形BCC1B1為正方形. ∴E為BC1中點.
∵D是AB的中點, ∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1. 4分
(2)在平面ABC內(nèi)作DF⊥BC于點F,
∵CC1⊥平面ACB , DF平面ACB,
∴CC1⊥DF.
∵BCCC1=C
∴DF⊥平面BCC1B1.
∴DF是三棱錐D-CC1B1的高,
∵AC=BC=CC1=2
∴ DF=1.
∴四面體B1C1CD的體積為. 9分
考點:線面平行的判定定理、空間幾何體的體積.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D為線段BC的中點,E、F為線段AC的三等分點(如圖①).將△ABD沿著AD折起到△AB′D的位置,連結(jié)B′C(如圖②).
圖①
圖②
(1)若平面AB′D⊥平面ADC,求三棱錐B′-ADC的體積;
(2)記線段B′C的中點為H,平面B′ED與平面HFD的交線為l,求證:HF∥l;
(3)求證:AD⊥B′E.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,AA1,BB1為圓柱OO1的母線,BC是底面圓O的直徑,D,E分別是AA1,CB1的中點,DE⊥面CBB1.
(1)證明:DE∥面ABC;
(2)求四棱錐CABB1A1與圓柱OO1的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐S ABC中,平面EFGH分別與BC,CA,AS,SB交于點E,F(xiàn),G,H,且SA⊥平面EFGH,SA⊥AB,EF⊥FG.
求證:(1)AB∥平面EFGH;
(2)GH∥EF;
(3)GH⊥平面SAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F分別為棱BC,AD的中點.
(1)求證:DE∥平面PFB;
(2)已知二面角PBFC的余弦值為,求四棱錐PABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在幾何體ABCDE中,∠BAC=,DC⊥平面ABC,EB⊥平面ABC, AB=AC=BE=2,CD=1。
(1)設(shè)平面ABE與平面ACD的交線為直線,求證:∥平面BCDE;
(2)設(shè)F是BC的中點,求證:平面AFD⊥平面AFE;
(3)求幾何體ABCDE的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
三棱錐P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。
(1)證明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若,,PB與底面ABC成60°角,分別是與的中點,是線段上任意一動點(可與端點重合),求多面體的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
有一個倒圓錐形容器,它的軸截面是一個正三角形,在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球,并注入水,使水面與球正好相切,然后將球取出,求這時容器中水的深度.
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