【題目】已知直線過橢圓的右焦點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且交橢圓兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上的射影依次為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線軸于點(diǎn),且,當(dāng)變化時(shí),證明: 為定值;

(3)當(dāng)變化時(shí),直線是否相交于定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;否則,說明理由.

【答案】(1);(2)見解析;(3).

【解析】試題分析:(1)由題設(shè)條件求出橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)坐標(biāo),即可得出、的值,再求出的值即可求得橢圓的方程;(2設(shè),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理得出再根據(jù),從而可表示出,化簡(jiǎn)即可得證;(3)當(dāng)時(shí),易得相交于點(diǎn),可猜想 變化時(shí) 相交于點(diǎn),再證明猜想成立即可.

試題解析:(1過橢圓的右焦點(diǎn)

∴右焦點(diǎn),即

又∵的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),

,即,

∴橢圓的方程;

2)由得, ,

設(shè),則,

,

,

,

綜上所述,當(dāng)變化時(shí), 的值為定值;

3)當(dāng)時(shí),直線軸,則為矩形,易知是相交于點(diǎn),猜想相交于點(diǎn),證明如下:

,

,即三點(diǎn)共線.

同理可得三點(diǎn)共線,

則猜想成立,即當(dāng)變化時(shí), 相交于定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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