【題目】已知,(其中常數(shù)).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求證:.

【答案】(1)有極小值,無(wú)極大值;(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

1)求出ae的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出單調(diào)區(qū)間,即可求得極值;(2)先證明:當(dāng)fx)≥0恒成立時(shí),有 0ae成立.若,則fx)=exalnx+1)≥0顯然成立;若,運(yùn)用參數(shù)分離,構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)數(shù),運(yùn)用單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理,即可得證.

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

(1)當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增且

當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞增,

所以有極小值,無(wú)極大值.

(2)先證明:當(dāng)恒成立時(shí),有成立

,則顯然成立;

,由,令,則

,由上單調(diào)遞增,

又∵,所以上為負(fù),遞減,在上為正,遞增,∴ ,從而.

因而函數(shù)若有兩個(gè)零點(diǎn),則,所以,

,則

上單調(diào)遞增,∴,

上單調(diào)遞增∴,則

,由,

,∴,綜上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知多面體的底面是邊長(zhǎng)為的菱形, 底面, ,且.

(1)證明:平面平面;

(2)若,求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一批用于手電筒的電池,每節(jié)電池的壽命服從正態(tài)分布(壽命單位:小時(shí)).考慮到生產(chǎn)成本,電池使用壽命在內(nèi)是合格產(chǎn)品.

1)求一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率(結(jié)果四舍五入,保留一位小數(shù));

2)根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)結(jié)果,若質(zhì)檢部門(mén)檢查4節(jié)電池,記抽查電池合格的數(shù)量為,求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差.

附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知平行四邊形和矩形所在平面垂直,其中為棱的中點(diǎn),的中點(diǎn).

1)求證:;

2)若點(diǎn)到平面的距離是,求多面體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到曲線,直線與曲線交于不同的兩點(diǎn).

1)求直線的參數(shù)方程和曲線的普通方程;

2)求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中國(guó)在歐洲的某孔子學(xué)院為了讓更多的人了解中國(guó)傳統(tǒng)文化,在當(dāng)?shù)嘏e辦了一場(chǎng)由當(dāng)?shù)厝藚⒓拥闹袊?guó)傳統(tǒng)文化知識(shí)大賽,為了了解參加本次大賽參賽人員的成績(jī)情況,從參賽的人員中隨機(jī)抽取名人員的成績(jī)(滿(mǎn)分100分)作為樣本,將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理后畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示,已知抽取的人員中成績(jī)?cè)?/span>[50,60)內(nèi)的頻數(shù)為3.

1)求的值和估計(jì)參賽人員的平均成績(jī)(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字);

2)已知抽取的名參賽人員中,成績(jī)?cè)?/span>[80,90)和[90,100]女士人數(shù)都為2人,現(xiàn)從成績(jī)?cè)?/span>[80,90)和[90100]的抽取的人員中各隨機(jī)抽取2人,記這4人中女士的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校高三1班共有48人,在“六選三”時(shí),該班共有三個(gè)課程組合:理化生、理化歷、史地政其中,選擇理化生的共有24人,選擇理化歷的共有16人,其余人選擇了史地政,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽出6人,調(diào)查他們每天完成作業(yè)的時(shí)間.

1)應(yīng)從這三個(gè)組合中分別抽取多少人?

2)若抽出的6人中有4人每天完成六科(含語(yǔ)數(shù)英)作業(yè)所需時(shí)間在3小時(shí)以上,2人在3小時(shí)以?xún)?nèi).現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行座談.

X表示抽取的3人中每天完成作業(yè)所需時(shí)間在3小時(shí)以上的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的極值點(diǎn);

2)當(dāng)時(shí)當(dāng)函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若,且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

3)求證:對(duì)任意的正數(shù)a,都存在實(shí)數(shù)t,滿(mǎn)足:對(duì)任意的,.

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