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如圖，圓與離心率為的橢圓（）相切于點.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)過點引兩條互相垂直的兩直線、與兩曲線分別交于點、與點、（均不重合）.
(ⅰ)若為橢圓上任一點，記點到兩直線的距離分別為、，求的最大值；
(ⅱ)若，求與的方程.

(Ⅰ)。
(Ⅱ) 的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為。

解析試題分析：(Ⅰ)由題意: 解得   2分
橢圓的方程為                            3分
(Ⅱ)（�。┰O因為⊥,則因為
所以            5分
因為 
所以當時取得最大值為，此時點        6分
（ⅱ）設的方程為,由解得
由   解得                    8分
同理可得，                  10分
所以，
，
由得解得        13分
所以的方程為，的方程為
或的方程為，的方程為             14分
考點：本題主要考橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線橢圓的位置關系，圓的切線。
點評：難題，求橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）結合向量的坐標運算，確定得到k的方程，為進一步確定直線方程奠定基礎。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓(a>b>0)拋物線，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：



4

1

2
4

2
（1）求的標準方程；（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四邊形ABCD的面積；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、 構成等差數列．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點分別是，Q是橢圓外的動點，滿足．點是線段與該橢圓的交點，點T是的中點．

（Ⅰ）設為點的橫坐標，證明；
（Ⅱ）求點T的軌跡的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知：圓過橢圓的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線與圓相切 ，與橢圓相交于A，B兩點記 
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的取值范圍；
（Ⅲ）求的面積S的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點是直線被橢圓所截得的線段中點，求直線的方程。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的對稱軸為坐標軸,焦點是（0，），（0，），又點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線的斜率為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

橢圓與軸負半軸交于點，為橢圓第一象限上的點，直線交橢圓于另一點，橢圓左焦點為，連接交于點D。
（1）如果，求橢圓的離心率； 
（2）在（1）的條件下，若直線的傾斜角為且△ABC的面積為，求橢圓的標準方程。

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