【題目】在中,,且.以所在直線為軸,中點為坐標原點建立平面直角坐標系.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)已知定點,不垂直于的動直線與軌跡相交于兩點,若直線 關于直線對稱,求面積的取值范圍.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(I)利用正弦定理化簡已知條件,根據(jù)橢圓的定義求得軌跡方程.(II)設出直線方程為,代入的軌跡方程,寫出判別式和韋達定理,根據(jù)直線關于軸對稱,列方程,化簡后求得直線過,求得的表達式,并利用單調(diào)性求得面積的取值范圍.
解: (Ⅰ)由得:,
由正弦定理
所以點C的軌跡是:以為焦點的橢圓(除軸上的點),其中,則,
故軌跡的軌跡方程為.
(Ⅱ) 由題,由題可知,直線的斜率存在,設的方程為,將直線的方程代入軌跡的方程得:.
由得,,且
∵直線關于軸對稱,∴,即.
化簡得:,
,得
那么直線過點,,所以面積:
設,,顯然,S在上單調(diào)遞減,
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知的兩個頂點的坐標分別為,,且所在直線的斜率之積等于,記頂點的軌跡為.
(Ⅰ)求頂點的軌跡的方程;
(Ⅱ)若直線與曲線交于兩點,點在曲線上,且為的重心(為坐標原點),求證:的面積為定值,并求出該定值.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】德國著名數(shù)學家狄利克雷(Dirichlet,1805~1859)在數(shù)學領域成就顯著.19世紀,狄利克雷定義了一個“奇怪的函數(shù)” 其中R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.則關于函數(shù)有如下四個命題,正確的為( )
A.函數(shù)是偶函數(shù)
B.,,恒成立
C.任取一個不為零的有理數(shù)T,對任意的恒成立
D.不存在三個點,,,使得為等腰直角三角形
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【題目】工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務,每次只派一個人進去,且每個人只派一次,工作時間不超過10分鐘,如果前一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務則撤出,再派下一個人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派,他們各自能完成任務的概率分別為,,,假設,,互不相等,且假定各人能否完成任務的事件相互獨立.
(1)如果按甲最先,乙次之,丙最后的順序派人,求任務能被完成的概率.若改變?nèi)齻人被派出的先后順序,任務能被完成的概率是否發(fā)生變化?
(2)假定,試分析以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的數(shù)學期望達到最小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體中,點在線段上移動,有下列判斷:①平面平面;②平面平面;③三棱錐的體積不變;④平面.其中,正確的是______.(把所有正確的判斷的序號都填上)
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