Question

【題目】如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，分別為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）取中點，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理及棱柱的性質(zhì)可證明四邊形是平行四邊形，得出，由線面平行的判定定理可得平面；（2）先證明平面，得出，故而結(jié)合，根據(jù)線面垂直的判定定理可得出平面.

試題解析：（1）∵G，E分別為CB，CB1的中點，∴EG∥BB1，且，

又∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG∥AD，EG=AD

∴四邊形ADEG為平行四邊形．∴AG∥DE

∵AG平面ABC，DE平面ABC，所以 DE∥平面AB

（2）由可得，取BC中點G，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，

∴BB1⊥平面ABC．∵AG平面ABC， ∴AG⊥BB1，

∵G為BC的中點，AB=AC，

∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C，

∵B1C平面BB1C1C，∴AG⊥B1C，

∵AG∥DE，∴DE⊥B1C，

∵BC=BB1，B1E=EC，∴B1C⊥BE，

∵BE平面BDE，

DE平面BDEBE∩DE=E，

∴B1C⊥平面BDE．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.