Question

【題目】已知A（x1 ， f（x1），B（x2 ， f（x2））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）圖象上的任意兩點(diǎn)，且初相φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵初相φ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，﹣ ），

∴φ為第四象限角，且tanφ= =﹣ ，

再結(jié)合﹣ ＜φ＜0，可得φ=﹣ ．

∵|f（x1）﹣f（x2）|=4時(shí)，|x1﹣x2|的最小值為 = = ，

∴ω=3，函數(shù)f（x）=2sin（3x﹣ ）．

（2）解：令2kπ﹣ ≤3x﹣ ≤2kπ+ ，

求得 ﹣ ≤x≤ + ，

可得函數(shù)的增區(qū)間為[ ﹣ ， + ]．

再結(jié)合x∈[0， ]，

可得當(dāng)x∈[0， ]時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為[0， ]．

（3）解：∵當(dāng)x∈[0， ]時(shí)，

∴3x﹣ ∈[﹣ ， ]，

f（x）∈[﹣ ，1]，

故 1﹣ 的最大值為1﹣ = ．

不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，

即m≥ =1﹣ 恒成立，

∴m≥ ．

【解析】（1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanφ的值，可得φ的值．（2）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．（3）由題意可得f（x）的值域，可得 1﹣ 的最大值，條件即m≥ =1﹣ 恒成立，從而求得m的范圍．