Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，AD= ，DC=2AB=2，E為BC中點(diǎn)．

（1）求證：平面PBC⊥平面PDE
（2）線(xiàn)段PC上是否存在一點(diǎn)F，使PA∥平面BDF？若存在，求 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD

在RT△DAB中，BD= =

知△DBC是等腰三角形．

又∵E為BC的中點(diǎn)．

∴DE⊥BC

∵PD⊥平面ABCD，且BC平面ABCD

∴PD⊥BC

∵PD∩DE=D

∴BC⊥平面PDE

又∵BC平面PBC

∴平面PBC⊥平面PDE

（2）解：線(xiàn)段PC上存在一點(diǎn)F，且 時(shí)，有PA∥平面BDF

證明如下：

連接AC交BD于點(diǎn)O，在平面PAC中過(guò)點(diǎn)O作OF∥PA，則交PC于F

又∵OF平面BDF，PA平面BDF

∴PA∥平面BDF

∵四邊形ABCD中AB∥CD，

∴易知△ABO∽△CDO

又∵CD=2AB=2，

∴

∵OF∥PA

∴

∴當(dāng) 時(shí)，PA∥平面BDF

【解析】（1）要證平面PBC⊥平面PDE，只要證平面PBC內(nèi)的直線(xiàn)BC⊥平面PDE即可．（2）由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，若使PA∥平面BDF，則過(guò)直線(xiàn)PA的平面和平面BDF的交線(xiàn)會(huì)和PA平行，故作輔助線(xiàn)OF∥AP，再利用線(xiàn)面平行判定定理證明．確定F的位置，則利用三角形相似的相似比確定 的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．