Question

【題目】已知，橢圓C過點A ，兩個焦點為（﹣1，0），（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，c=1，

可設(shè)橢圓方程為 ，

解得b2=3， （舍去）

所以橢圓方程為

（2）解：設(shè)直線AE方程為： ，

代入 得

設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），

因為點 在橢圓上，

所以由韋達(dá)定理得： ， ，

所以 ， ．

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，

在上式中以﹣K代K，可得 ，

所以直線EF的斜率

即直線EF的斜率為定值，其值為

【解析】（1）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程代入已知條件得 ，求出b，由此能夠求出橢圓方程．（2）設(shè)直線AE方程為： ，代入 得 ，再點 在橢圓上，結(jié)合直線的位置關(guān)系進(jìn)行求解．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．