【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷在上的單調(diào)性并加以證明;
(2)若,,求的取值范圍.
【答案】(1)在為增函數(shù);證明見解析(2)
【解析】
(1)令,求出,可推得,故在為增函數(shù);
(2)令,則,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),.
記,則,
當(dāng)時(shí),,.
所以,所以在單調(diào)遞增,所以.
因?yàn)?/span>,所以,所以在為增函數(shù).
(2)由題意,得,記,則,
令,則,
當(dāng)時(shí),,,所以,
所以在為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,
所以.
①當(dāng),,恒成立,所以為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,
又,所以,所以在為增函數(shù),所以
所以滿足題意.
②當(dāng),,令,,
因?yàn)?/span>,所以,故在單調(diào)遞增,
故,即.
故,
又在單調(diào)遞增,
由零點(diǎn)存在性定理知,存在唯一實(shí)數(shù),,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,即單調(diào)遞減,
所以,此時(shí)在為減函數(shù),
所以,不合題意,應(yīng)舍去.
綜上所述,的取值范圍是.
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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面底面,是邊長為2的正三角形,已知點(diǎn)滿足.
(1)求二面角的大;
(2)求異面直線與的距離;
(3)直線上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“”的否定是“”
B.命題“已知,若則或”是真命題
C.命題“若則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
D.“在上恒成立”在上恒成立
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【題目】甲,乙兩人進(jìn)行射擊比賽,各射擊局,每局射擊次,射擊中目標(biāo)得分,未命中目標(biāo)得分,兩人局的得分情況如下:
甲 | ||||
乙 |
(1)若從甲的局比賽中,隨機(jī)選取局,求這局的得分恰好相等的概率;
(2)從甲,乙兩人的局比賽中隨機(jī)各選取局,記這局的得分和為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),;
(2)若對(duì)任意存在和使成立,求實(shí)數(shù)的最小值.
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【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列.
(1)S數(shù)列的任意一項(xiàng)是否可以寫成其某兩項(xiàng)的差?請(qǐng)說明理由.
(2)①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②是否存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖為等腰直角三角形,俯視圖中虛線平分矩形的面積,則該幾何體的體積為_____,其外接球的表面積為______.
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