Question

【題目】在所有棱長都相等的三棱柱中，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 連,,取線段的中點,連接和,再證明平面即可.

(2)根據(jù)(1)可知是二面角的平面角,進(jìn)而找到與平面所成角再求解即可.或者建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解線面角的方法求解.

（Ⅰ）連,,取線段的中點,連接和,

∵和為等邊三角形,

∴,,

又,∴平面,

∴.

（Ⅱ）法一：∵,,

∴是二面角的平面角,

∵平面,∴平面平面,

記與的交點為,過作于,則平面,

∴是與平面所成角.

由題意知為的重心,,

∴,,

∴,∴,

∴.

法二：由,以為軸,為軸,過點平面的垂線為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,得

,,,,,,

則,,,

設(shè)平面的法向量,

則,得,令得,,

則.

設(shè)與平面所成角為,

,

所以與平面所成角的正弦值為.