Question

【題目】設(shè)函數(shù)。

（Ⅰ）求證：函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；

（Ⅱ）求函數(shù)的極值點(diǎn)的近似值，使得；

（Ⅲ）求證：對(duì)恒成立。

（參考數(shù)據(jù)：）。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見(jiàn)解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)推證；（Ⅱ）借助題設(shè)條件運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)的定義推證；（Ⅲ）依據(jù)題設(shè)條件,借助（Ⅰ）的結(jié)論運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求函數(shù)的最小值進(jìn)行推證。

試題解析：

（Ⅰ）由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且。

∵函數(shù)與均在上遞增，

∴在上遞增。

又∵在區(qū)間上的圖像是連續(xù)的，且，

∴在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為，且在左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)。

綜上可知，函數(shù)有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)。即函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)為。

（Ⅱ）∵，且在上的圖象連續(xù),，

∴的零點(diǎn)，即的極值點(diǎn)，即。

∴為的近似值可以取，此時(shí)的滿足。

（事實(shí)上，極值點(diǎn)的近似值的取值在區(qū)間內(nèi)都是可以的，只要說(shuō)理充分即可。）

（Ⅲ）∵，且在上圖象連續(xù)，，

∴的零點(diǎn)。

的極值點(diǎn)。

由（Ⅰ）知，且的最小值為。

∵函數(shù)在上遞減，且，

∴。

∴對(duì)恒成立。