已知橢圓具有性質：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值-
b2
a2
．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質，并加以證明．
分析：由橢圓到雙曲線進行類比，不難寫出關于雙曲線的結論：kPA•kPB=
b2
a2
，其中點A、B是雙曲線上關于原點對稱
的兩點，P是雙曲線上的任意一點．然后設出點P、A、B的坐標，代入雙曲線方程并作差，變形整理即可得到kPA•kPB=
b2
a2
是與點P位置無關的定值．
解答：解：雙曲線類似的性質為：
若A，B是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上的任意一點，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點P位置無關的定值
b2
a2
．
證明：設P（x0，y0），A（x1，y1），則B（-x1，-y1），
且
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1①，
x
2
1
a2
-
y
2
1
b2
=1②，
兩式相減得：b2(
x
2
0
-
x
2
1
)-a2(
y
2
0
-
y
2
1
)=0，
∴kPA•kPB=
y0-y1
x0-x1
•
y0+y1
x0+x1
=
y
2
0
-
y
2
1
x
2
0
-
x
2
1
=
b2
a2

即kPA•kPB=
b2
a2
，是與點P位置無關的定值．
點評：本題給出橢圓上的點滿足的性質，求一個關于雙曲線的類似性質并加以證明．著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•南寧二模）設F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個焦點．
（Ⅰ）若橢圓C上的點A（1，
3
2
）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動點，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點P在橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值．設對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質（不必給出證明）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點，那么該弦的斜率等于點A的橫、縱坐標的比值與某一常數(shù)的積．試對雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，P是橢圓上任意一點，則當直線PM，PN的斜率都存在時，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質，并加以證明．

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