Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點(diǎn)，那么該弦的斜率等于點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)的比值與某一常數(shù)的積．試對(duì)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：涉及中點(diǎn)弦問題，可使用點(diǎn)差法解決，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點(diǎn)為A（m，n），代入雙曲線方程作差即可得直線斜率與中點(diǎn)原點(diǎn)連線斜率之間的關(guān)系．

解答：解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1具有類似于橢圓的性質(zhì)：若A是雙曲線C的一條與x軸不垂直的弦的中點(diǎn)，那么該弦的斜率等于點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)的比值與某一常數(shù)的積．
證明：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)是M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），的中點(diǎn)為A（m，n）
則有：

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，兩式相減得：

x22-x12

a2

-

y22-y12

b2

=0⇒

(x2+x1)(x2-x1)

a2

-

(y2+y1)(y2-y1)

b2

=0
而x2+x1=2m，y2+y1=2n，kMN=

y2-y1

x2-x1

，
代入上式得：kMN=

m

n

•

b2

a2

，(

b2

a2

為常數(shù))，得證．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了類比推理、直線與雙曲線的位置關(guān)系，特別是當(dāng)直線與曲線相交并且與弦的中點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以使用聯(lián)立方程組的辦法，也可采用點(diǎn)差法．