已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，其乘積恒為定值．類比橢圓，寫出雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的類似性質(zhì)，并加以證明．
分析：類比橢圓的性質(zhì)可得：若M、N是雙曲線C′上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，其乘積恒為定值
b2
a2
．設(shè)P（m，n）是雙曲線C′上的任意一點(diǎn)，M（x0，y0），N（-x0，-y0）是雙曲線上的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)．利用
m2
a2
-
n2
b2
=1，
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1，及斜率計(jì)算公式即可證明．
解答：解：若M、N是雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在時(shí)，其乘積恒為定值
b2
a2
．證明如下：
設(shè)P（m，n）是雙曲線C′上的任意一點(diǎn)，M（x0，y0），N（-x0，-y0）是雙曲線上的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)．
則
m2
a2
-
n2
b2
=1，
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1，
∴n2-
y
2
0
=b2(
m2
a2
-1)-b2(
x
2
0
a2
-1)=
b2
a2
(m2-
x
2
0
)．
∴kPM•kPN=
n-y0
m-x0
•
n+y0
m+x0
=
n2-
y
2
0
m2-
x
2
0
=
b2
a2
為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•南寧二模）設(shè)F1、F2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，
3
2
）到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是（Ⅰ）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q（0，
1
2
），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．設(shè)對(duì)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)（不必給出證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若A是橢圓C的一條與x軸不垂直的弦的中點(diǎn)，那么該弦的斜率等于點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)的比值與某一常數(shù)的積．試對(duì)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓具有性質(zhì)：若A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0且a，b為常數(shù)）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，若直線PA和PB的斜率都存在，并分別記為kPA，kPB，那么kPA與kPB之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值-
b2
a2
．試對(duì)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0且a，b為常數(shù)）寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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