Question

【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）設，若滿足且，試判斷方程的實數(shù)根個數(shù),并說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），但無極小值；（Ⅱ）有2個實數(shù)根，利用見解析.

【解析】

（I）利用的導函數(shù)研究的單調(diào)性，由此求得的極值.

（II）求得的表達式，求得其導函數(shù)，由此求得的單調(diào)區(qū)間、極小值（最小值），結合零點存在性定理，判斷出有兩個實數(shù)根.

（Ⅰ）因為，所以．

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減．

所以，但無極小值．

（Ⅱ）因為，所以

因為，所以，于是．

令，得或．

當時，，此時單調(diào)遞增；

當時，，此時單調(diào)遞減；

當時，，此時單調(diào)遞增．

所以．

因為，所以，．

又函數(shù)在上連續(xù)，故有一個零點為0，且在上也有一個零點．

綜上，方程的有2個實數(shù)根．