【題目】如圖所示,在底面為正方形的四棱柱中, .
(1)證明:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:
(1)連交于,由條件可得,又由得到 ,從而可得平面.由四邊形為平行四邊形可得,所以平面,因此平面平面.(2)由條件可得兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量和直線的法向量,根據(jù)兩向量的夾角的余弦值可求得線面角的正弦值.
試題解析:
(1)證明:連交于,則為中點(diǎn),
∵,
∴.
∵, 為公共邊,
∴,
∴.
又, ,
∴平面.
由題意得,故四邊形為平行四邊形.
∴,
∴平面,
又平面內(nèi),
∴ 平面平面.
(2)由題意得兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵,
∴為等邊三角形,
∴.
又,
∴.
則.
∴, ,
.
設(shè)平面的一個法向量為,
由可得 ,
令,則 .
設(shè)與平面所成角為,
則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)中國日報網(wǎng)報道:2017年11月13日,TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計算機(jī)500強(qiáng)榜單顯示,中國超算在前五名中占據(jù)兩席.其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器.為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度,某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測試,結(jié)果如下:(數(shù)值越小,速度越快,單位是MIPS)
(Ⅰ)從品牌的12次測試中,隨機(jī)抽取一次,求測試結(jié)果小于7的概率;
(Ⅱ)從12次測試中,隨機(jī)抽取三次,記為品牌的測試結(jié)果大于品牌的測試結(jié)果的次數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)經(jīng)過了解,前6次測試是打開含有文字與表格的文件,后6次測試時打開含有文字與圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù),運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計知識,對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,其中 . 表示 中所有不同值的個數(shù).
(Ⅰ)若集合,求;
(Ⅱ)若集合,求證: 的值兩兩不同,并求;
(Ⅲ)求的最小值.(用含的代數(shù)式表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校初三年級有名學(xué)生,隨機(jī)抽查了名學(xué)生,測試分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù)),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計總體,下列結(jié)論正確的是( )
A. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為次
B. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為次
C. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過次的人數(shù)約有人
D. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于次的人數(shù)約為人.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在棱錐中, 為矩形, 面, , 與面成角, 與面成角.
(1)在上是否存在一點(diǎn),使面,若存在確定點(diǎn)位置,若不存在,請說明理由;
(2)當(dāng)為中點(diǎn)時,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了準(zhǔn)確把握市場,做好產(chǎn)品計劃,特對某產(chǎn)品做了市場調(diào)查:先銷售該產(chǎn)品50天,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)每天的銷售量分布在內(nèi),且銷售量的分布頻率
.
(Ⅰ)求的值并估計銷售量的平均數(shù);
(Ⅱ)若銷售量大于等于70,則稱該日暢銷,其余為滯銷.在暢銷日中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8天,再從這8天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行統(tǒng)計,設(shè)這3天來自個組,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望(將頻率視為概率).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知不等式|y+4|-|y|≤2x+對任意實(shí)數(shù)x,y都成立,則常數(shù)a的最小值為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下面四個類比結(jié)論:
①實(shí)數(shù)a,b,若ab=0,則a=0或b=0;類比復(fù)數(shù)z1,z2,若z1z2=0,則z1=0或z2=0.
②實(shí)數(shù)a,b,若ab=0,則a=0或b=0;類比向量a,b,若a·b=0,則a=0或b=0.
③實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2=0,則a=b=0;類比復(fù)數(shù)z1,z2,有z+z=0,則z1=z2=0.
④實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2=0,則a=b=0;類比向量a,b,若a2+b2=0,則a=b=0.
其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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