Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點P的直角坐標(biāo)為，若直線l與曲線C分別相交于A，B兩點，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化即可得曲線C的普通方程；由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化可得直線l的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）將直線l的直角坐標(biāo)方程化為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義即可求解.

（Ⅰ）曲線C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

變形為,平方相加后可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程得.

直線l的極坐標(biāo)方程為.

展開可得,即

化簡可得直角坐標(biāo)方程為.

（Ⅱ）把直線的方程為轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程可得（t為參數(shù)）.

把直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，

可得，

所以，，

所以由參數(shù)方程的幾何意義可知