【題目】已知函數(shù),其中,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),求的取值范圍

【答案】)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),.的范圍為.

【解析】

試題分析:()易得,再對(duì)分情況確定的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)上的單調(diào)性即可得上的最小值.)設(shè)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),注意到.聯(lián)系到函數(shù)的圖象可知,導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn),即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn). 由()可知,當(dāng)時(shí),內(nèi)都不可能有兩個(gè)零點(diǎn).所以.此時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,且必有.得:,代入這兩個(gè)不等式即可得的取值范圍.

試題解答:(

當(dāng)時(shí),,所以.

當(dāng)時(shí),由.

,則;若,則.

所以當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,所以.

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以.

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,所以.

)設(shè)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由可知,

在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.

不可能恒為正,也不可能恒為負(fù).

在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).

由()知,當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,故內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,故內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).

所以.

此時(shí),上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

因此,必有

.

得:,有

.

解得.

當(dāng)時(shí),在區(qū)間內(nèi)有最小值.

,則,

從而在區(qū)間上單調(diào)遞增,這與矛盾,所以.

,

故此時(shí)內(nèi)各只有一個(gè)零點(diǎn).

由此可知上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

所以,

內(nèi)有零點(diǎn).

綜上可知,的取值范圍是.

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,使得,

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根據(jù)散點(diǎn)圖,結(jié)合函數(shù)知識(shí),可以發(fā)現(xiàn)產(chǎn)卵數(shù)和溫度可用方程來(lái)擬合,令,結(jié)合樣本數(shù)據(jù)可知與溫度可用線性回歸方程來(lái)擬合.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計(jì)算得到如下值:

27

74

182

表中,

1)求和溫度的回歸方程(回歸系數(shù)結(jié)果精確到);

2)求產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程;若該地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)的氣溫在之間(包括),估計(jì)該品種一只昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)的范圍.(參考數(shù)據(jù):,,,.)

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402  978  191  925  273  842  812  479  569  683

231  357  394  027  506  588  730  113  537  779

則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為  

A. B. C. D.

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